ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34903
Темы:    [ Сферы (прочее) ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой – C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.


Подсказка

Вначале рассмотрите сечение, проходящее через B, D и центры сфер.


Решение

Пусть E и F – общие точки сфер, лежащие соответственно на AC и BD, P и Q – центры сфер, G – точка, симметричная F относительно прямой PQ. Очевидно, G – также общая точка сфер, причём BG и DG – диаметры сфер. Будем обозначать через X' проекцию произвольной точки X на AC. Ясно, что что P' – середина хорды AE первой сферы, Q' – середина хорды EC второй сферы. В то же время P' – середина отрезка B'G' (так как P – середина отрезка BG), а Q' – середина отрезка G'D'. Отсюда легко следует, что  AB' = G'E = D'C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .