|
|
 |
Условие
Докажите, что для любого числа d, не делящегося на 2 и на 5, найдётся число, в десятичной записи которого содержатся одни единицы и которое делится на d.
Подсказка
Некоторые два из чисел, в десятичной записи которых содержатся одни единицы, имеют одинаковые остатки при делении на d.
Решение
Рассмотрим числа, в десятичной записи которых содержатся одни единицы: 1, 11, 111, ... Поскольку таких чисел бесконечно много, то среди них найдутся два числа, имеющие одинаковый остаток при делении на d. Разность этих двух чисел будет иметь вид A = 1...10...0, то есть будет записываться несколькими единицами, за которыми следуют нули; кроме того, число A делится на d. По условию d взаимно просто с 10, следовательно, число из одних единиц, полученное из A вычеркиванием нулей, также делится на d.
Замечания
См. также задачи 60877 и 73741.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
