|
|
 |
Условие
Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½.
Подсказка
На покрытие границы круга уйдёт не меньше семи кругов с радиусом, меньшим ½.
Решение
Рассмотрим круги радиуса меньше ½ (будем называть их маленькими), которые покрывают границу большого круга радиуса 1. Докажем, что таких кругов не меньше семи. Как известно, в окружности радиуса 1 дуга, стягиваемая хордой длины 1, имеет градусную меру 60°. Рассмотрим дуги окружности радиуса 1, высекаемые маленькими кругами. Поскольку хорды, стягивающие эти дуги, не превосходят 1, градусная мера каждой из этих дуг меньше 60°. Так как градусная мера всей окружности равна 360°, то шести маленьких кругов не хватит для покрытия границы большого круга. Кроме кругов, покрывающих границу, потребуется ещё один маленький круг для покрытия центра большого круга: расстояние от точки на границе большого круга до его центра больше диаметра маленького круга. Таким образом, для покрытия большого круга требуется не менее восьми маленьких кругов.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
