Задача 34990

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Произведения и факториалы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что для любого натурального n найдутся n подряд идущих составных натуральных чисел.

Подсказка

Рассмотрите числа, расположенные "возле" числа  (n + 1)!.

Решение

Рассмотрим n следующих натуральных чисел:  (n + 1)! + 2,  (n + 1)! + 3,  ...,  (n + 1)! + (n + 1).  Покажем, что все эти числа составные. В самом деле, для каждого   k = 2,3, ... , n + 1,  число  (n + 1)!  делится на k. Поэтому число  (n + 1)! + k  также делится на k и, очевидно, больше k.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача