Условие
Среди поля проходит прямая дорога, по которой со
скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из
которых можно догнать автобус, если бежать с такой же
скоростью.
Подсказка
Если бежать по прямой, то точка встречи с автобусом лежит
на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему начальные
положения автобуса и догоняющего.
Решение
Пусть точка O - начальное положение автобуса, прямая l - дорога,
по которой он едет, луч OA прямой l сонаправлен с движением
автобуса.
Рассмотрим некоторую точку X поля, и пусть
X' - проекция точки X на прямую l.
Рассмотрим две возможности.
1) Пусть точка X' не лежит на луче OA или совпадает с точкой O.
Допустим, что из точки X можно догнать автобус в некоторой точке
B луча OA. Тогда отсюда следовало бы, что расстояние XB не больше,
чем OB (так как скорость бега равна скорости автобуса).
Однако XB не меньше X'B (проекция не превосходит по длине
наклонной), а X'B в свою очередь не меньше, чем OB.
Поэтому XB не меньше OB, причем равенство достигается только если
X совпадает с O. Таким образом, из точки X нельзя догнать автобус
(если только X не совпадает с O).
2) Пусть X' лежит на луче OA. Проведем серединный перпендикуляр к
отрезку OX, он пересечет луч OA в некоторой точке B.
Точка B равноудалена от точек O и X, поэтому если из точки
X бежать по прямой в направлении XB со скоростью автобуса, то в
точке B произойдет встреча с автобусом.
Из сказанного выше вытекает следующий ответ:
если провести через точку O прямую m, перпендикулярную прямой l,
то автобус можно догнать только из точек той полуплоскости
относительно прямой m,
в которой лежит луч OA.
Источники и прецеденты использования
