|
|
 |
Условие
2n конфет разложены по n коробкам. Девочка и мальчик по очереди берут по одной конфете, первой выбирает девочка.
Докажите, что мальчик может выбирать конфеты так, чтобы две последние конфеты оказались из одной коробки.
Подсказка
Мальчик может брать конфеты таким образом, чтобы после того, как он возьмёт k-ю конфету, по крайней мере k коробок оказались пустыми.
Решение
Мальчик может взять свою первую конфету так, чтобы после этого хотя бы одна коробка освободилась. Действительно, после первого хода девочки осталось 2n – 1 конфета в n коробках, и следовательно, в какой-то из коробок осталось не более одной конфеты. Если в этой коробке нет конфет, то мальчик может взять конфету из любой коробки.
Итак, после того, как мальчик берет первую конфету, одна коробка опустеет и остаётся 2(n – 1) конфет в n – 1 коробке. Если мальчик будет и дальше действовать таким образом, то после того, как он возьмёт вторую конфету, опустеют две коробки, ..., после того, как мальчик возьмёт (n–1)-ю конфету, опустеют все коробки, за исключением одной. Это и означает, что две оставшиеся конфеты лежат в одной коробке.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
