ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35094
Темы:    [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности отмечено n точек, причём известно, что для каждых двух отмеченных точек одна из дуг, соединяющих их, имеет величину, меньшую 120°. Докажите, что все точки лежат на одной дуге величиной 120°.


Подсказка

Выберите среди всех дуг (меньших 180°), соединяющих пары точек, наибольшую по величине и докажите, что все отмеченные точки лежат на этой дуге.


Решение

  Среди всех дуг (меньших 180°), соединяющих пары отмеченных точек, выберем наибольшую по величине дугу AB; по условию её величина меньше 120°. Пусть A' и В' – точки, диаметрально противоположные точкам A и B. Окружность разбивается на четыре дуги: AB, BA', A'B' и B'A. Никакая отмеченная точка C не лежит на дуге BA', иначе величина  ⌣AC > ⌣AB  вопреки выбору дуги AB. Аналогично никакая отмеченная точка не лежит на дуге B'A.
  Пусть отмеченная точка C лежит на дуге A'B'. Тогда окружность разбивается на три дуги AB, BC, CA, меньшие 180°. Сумма величин этих трёх дуг равна 360°, поэтому хотя бы одна из этих дуг имеет величину, не меньшую  360° : 3 = 120°  вопреки условию.
  Следовательно, все отмеченные точки расположены на дуге AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .