Задача 35105

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень a^b - число рациональное?

Подсказка

В качестве a можно взять корень из натурального числа.

Решение

Первое решение. Примером могут служить числа a=10^1/2, b=2lg11. В самом деле, a^b = (10^1/2)^2lg11 = 10^(1/2)*2lg11 = 10^lg11 = 11. Осталось показать, что числа 10^1/2 и lg11 иррациональные. Если бы выполнялось равенство 10^1/2=m/n для некоторых натуральных m и n, то было бы верно равенство 10n²=m², что невозможно, поскольку в левую часть простой множитель 2 входит в нечетной степени, а в правую часть - в четной. Если бы выполнялось равенство lg11=m/n для некоторых натуральных m и n, то было бы верно равенство 10^m=11ⁿ, что, очевидно, невозможно.
Второе решение. Рассмотрим число A = √2^√2. Если оно рационально, задача решена (число √2, как известно, иррационально). Если же A иррационально, то число A^√2 = √2² = 2 рационально, поэтому A и √2 - искомые числа.

Ответ

существуют.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача