ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35105
Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень ab - число рациональное?

Подсказка

В качестве a можно взять корень из натурального числа.

Решение

Первое решение. Примером могут служить числа a=101/2, b=2lg11. В самом деле, ab = (101/2)2lg11 = 10(1/2)*2lg11 = 10lg11 = 11. Осталось показать, что числа 101/2 и lg11 иррациональные. Если бы выполнялось равенство 101/2=m/n для некоторых натуральных m и n, то было бы верно равенство 10n2=m2, что невозможно, поскольку в левую часть простой множитель 2 входит в нечетной степени, а в правую часть - в четной. Если бы выполнялось равенство lg11=m/n для некоторых натуральных m и n, то было бы верно равенство 10m=11n, что, очевидно, невозможно.
Второе решение. Рассмотрим число A = √2√2. Если оно рационально, задача решена (число √2, как известно, иррационально). Если же A иррационально, то число A√2 = √22 = 2 рационально, поэтому A и √2 - искомые числа.

Ответ

существуют.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .