Условие
Существует ли
а) ограниченная,
б) неограниченная
фигура на плоскости, имеющая среди своих осей симметрии две
параллельные несовпадающие прямые?
Подсказка
Если такая фигура существует, то она должна переходить в себя при
нетождественном параллельном переносе, который определяется
как последовательное выполнение симметрий относительно двух
параллельных осей симметрии.
Решение
а) Пусть у фигуры есть две параллельные оси симметрии. Введем
систему координат таким образом, чтобы эти прямые имели уравнения
x=0 и x=1. Пусть некоторая точка (a;b) принадлежит данной фигуре.
В силу того, что прямая x=0 является осью симметрии, точка (-a;b)
также должна принадлежать данной фигуре.
Далее, точка (a+2;b), симметричная точке (-a;b) относительно
прямой x=1,
также должна принадлежать данной фигуре.
Таким образом, вместе с каждой точкой (a;b) данная фигура содержит
точку (a+2;b). Повторяя эти рассуждения для точки (a+2;b),
получаем, что точка (a+4;b) также принадлежит данной фигуре, и
т.д., точки (a+6;b), (a+8;b), (a+10;b),... принадлежат данной
фигуре. Это, очевидно, противоречит предположению об
ограниченности фигуры.
б) Пример - прямая (любая прямая, перпендикулярная ей,
является ее осью симметрии).
Ответ
а) Нет. б) Да.
Источники и прецеденты использования
