ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35121
Тема:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли а) ограниченная, б) неограниченная фигура на плоскости, имеющая среди своих осей симметрии две параллельные несовпадающие прямые?

Подсказка

Если такая фигура существует, то она должна переходить в себя при нетождественном параллельном переносе, который определяется как последовательное выполнение симметрий относительно двух параллельных осей симметрии.

Решение

а) Пусть у фигуры есть две параллельные оси симметрии. Введем систему координат таким образом, чтобы эти прямые имели уравнения x=0 и x=1. Пусть некоторая точка (a;b) принадлежит данной фигуре. В силу того, что прямая x=0 является осью симметрии, точка (-a;b) также должна принадлежать данной фигуре. Далее, точка (a+2;b), симметричная точке (-a;b) относительно прямой x=1, также должна принадлежать данной фигуре. Таким образом, вместе с каждой точкой (a;b) данная фигура содержит точку (a+2;b). Повторяя эти рассуждения для точки (a+2;b), получаем, что точка (a+4;b) также принадлежит данной фигуре, и т.д., точки (a+6;b), (a+8;b), (a+10;b),... принадлежат данной фигуре. Это, очевидно, противоречит предположению об ограниченности фигуры. б) Пример - прямая (любая прямая, перпендикулярная ей, является ее осью симметрии).

Ответ

а) Нет. б) Да.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .