ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35145
Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли тетраэдр, высоты которого равны 1, 2, 3 и 6?


Подсказка

Выразите площади граней тетраэдра через его объем и длины высот.


Решение

Предположим, что такой тетраэдр существует. Обозначим через V его объём, а через S1, S2, S3, S4 – площади граней. Тогда  3V = S1 = 2S2 = 3S3 = 6S4.  Отсюда  S1 = S2 + S3 + S4.  Однако в любом тетраэдре сумма площадей трёх граней больше площади четвёртой грани (пространственный аналог неравенства треугольника). Действительно, проекции трёх граней на четвёртую полностью покроют четвёртую грань, а площадь проекции грани меньше площади самой грани. Противоречие.


Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .