ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35148
Тема:    [ Функции одной переменной. Непрерывность ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной прямой и непрерывную ровно в одной точке.

Подсказка

Можно отдельно определить функцию на множествах рациональных и иррациональных точек.

Решение

Определим функцию f(x) равенствами f(x)=0 при рациональном x и f(x)=x при иррациональном x. Для любого положительного d при |x|<d |f(x)-f(0)|=|f(x)|<d, поэтому функция f(x) непрерывна в точке x=0. С другой стороны пусть a не равно 0. В любой окрестности точки x=a найдутся две точки x=b и x=c, такие что b рационально, а c - иррационально, причем иррациональное число c можно выбрать так, что |c-a|<|a|/2. Тогда в любой окрестности числа a для этих b и c из рассматриваемой окрестности выполнено |f(b)-f(c)|>|0-a/2|=|a/2|, что противоречит непрерывности функции f(x) в точке a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .