Задача 35152

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ Корни высших показателей (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Известно, что первый, десятый и сотый члены геометрической прогрессии являются натуральными числами. Верно ли, что 99-ый член этой прогрессии также является натуральным числом?

Подсказка

Знаменатель прогрессии может быть иррациональным числом.

Решение

Пусть a₁ - первый член прогрессии, а q - ее знаменатель. Тогда десятый член a₁₀ равен a₁q⁹, а сотый член a₁₀₀ равен a₁q⁹⁹. Положим a₁=1, q=2^1/9 (таким образом, знаменатель прогресии - иррациональное число). Тогда a₁₀=(2^1/9)⁹=2, a₁₀₀=(2^1/9)⁹⁹=2¹¹. С другой стороны a₉₉=a₁₀₀/q=2¹¹/2^1/9 - число иррациональное.

Ответ

неверно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача