ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35225
Тема:    [ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске выписаны числа 1, ½, ..., 1/n. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число  ab + a + b.
Какое число останется после  n – 1  такой операции?


Подсказка

При этой операции сохраняется произведение чисел, увеличенных на 1.


Решение

Пусть в некоторый момент на доске написаны числа a, b, ... , z. Рассмотрим произведение  P = (a + 1)(b + 1)...(z + 1).  После замены пары чисел a, b на  ab + a + b  в указанном произведении  (a + 1)(b + 1) заменится на  ab + a + b + 1 = (a + 1)(b + 1).  Таким образом, операция величину P не меняет. Отсюда следует, что число, которое остаётся в конце, не зависит от порядка выполнения операций и равно
(1 + 1)(½ + 1)...(1/n + 1) – 1 = 2/1·3/2·...·n+1/n – 1 = (n + 1) – 1 = n.


Ответ

n.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .