ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35228
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Куб ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано 16 кубов с длинами ребер соответственно 1,2,...,16. Разделите их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны: суммарные объемы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин ребер и количество кубов.

Подсказка

Любые 2n чисел, образующие арифметическую прогрессию, можно разделить на две группы так, чтобы в обеих группах были равны: количества чисел, суммы чисел, суммы квадратов, и т.д., суммы (n-1)-ых степеней чисел. Докажите это утверждение последовательно для n=1,2,3,4.

Решение

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую - оставшиеся кубы. Можно убедиться, что условие задачи выполнено. Чтобы понять, как догадаться до такого разбиения, решим следующую более общую задачу. Докажем, что любые 2n чисел, образующие арифметическую прогрессию, можно разделить на две группы так, чтобы для любого многочлена степени не выше (n-1) сумма значений этого многочлена в числах из одной группы была равна сумме значений этого многочлена в числах из другой группы (ясно, что исходная задача есть частный случай этой задачи для n=4 и арифметической прогрессии 1,2,...,16). Применим индукцию по n. При n=1 утверждение нащей общей задачи очевидно. Пусть оно верно при n=k, докажем его при n=k+1. Обозначим m=2k. Пусть имеется арифметическая прогрессия из 2m=2k+1 членов, из которых первые m членов обозначим a1, a2, ... , am, а следующие m членов обозначим b1, b2, ... , bm. Разделим числа a1, a2, ... , am на две группы A' и A'' так, чтобы выполнялось предположение индукции. Далее, разделим числа b1, b2, ... , bm на группы B' и B'' так, чтобы bi входило в группу B' тогда и только тогда, когда ai входит в группу A'. Объединим теперь A'c B''и A'' с B'. Покажем, что этим получено нужное разбиение чисел a1, a2, ... , am, b1, b2, ... , bm. Рассмотрим некоторый многочлен P(x) степени не выше k. Покажем, сумма значений P(x), где x пробегает числа из одной группы, равна сумме значений P(x), где x пробегает числа из другой группы. Обозначим c=bi-ai (поскольку a1, a2, ... , am, b1, b2, ... , bm - арифметическая прогрессия, разности bi-ai одинаковы при всех i от 1 до m). Рассмотрим разности R(ai) = P(bi)-P(ai) = P(ai+c)-P(ai), i=1,2,...,m. Достаточно заметить, что сумма величин R(ai) по всем ai из A' равна сумме величин R(ai) по всем ai из A''. Но это следует из предположения индукции, поскольку в разности P(ai+c)-P(ai) многочленов от ai (с считаем постоянной) сокращается старшая степень, то есть R(ai) является многочленом от ai степени не выше k-1. Утверждение доказано по индукции.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .