Задача 35231

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Сочетания и размещения ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Вычислите коэффициент при x¹⁰⁰ в многочлене  (1 + x + x² + ... + x¹⁰⁰)³  после приведения всех подобных членов.

Подсказка

Коэффициент при x¹⁰⁰ равен числу решений уравнения   p + q + r = 100   в целых неотрицательных числах.

Решение

Умножая многочлен  1 + x + x² + ... + x¹⁰⁰  два раза сам на себя, мы получим сумму одночленов вида x^px^qx^r, где p, q, r пробегают независимо числа от 0 до 100. Значит, коэффициент при x¹⁰⁰ равен числу решений уравнения  p + q + r = 100  в целых неотрицательных числах. Это число, в свою очередь, равно числу способов разложить 100 шаров по трём ящикам. См. задачи 30717 б) и 60406 б).

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача