Условие
Через две точки, лежащие в круге, провести окружность,
лежащую целиком в том же круге.
Подсказка
Центр такой окружности можно выбрать на одном из отрезков,
соединяющих данные точки с центром круга.
Решение
Соединим данные точки A и B с центром данного круга O и
проведем серединный перпендикуляр отрезка AB до пересечения с
одной из сторон OA или OB в точке O'. Пусть для определенности
O' лежит на OB. Окружность с центром в точке O' и радиусом O'B
будет искомой.
Для доказательства этого возьмем любую точку C на этой
окружности и рассмотрим треугольник OO'C.
В этом треугольнике OC не больше OO'+O'C=OO'+O'B=OB
(по неравенству треугольника), а OB не
превосходит
радиуса первоначального круга.
Источники и прецеденты использования
