Условие
Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m^2+n$ и $n^2+m$ одновременно являются квадратами?
Подсказка
Если $m > n$, то $m^2+n$ слишком близко к $m^2$.
Решение
Пусть для определенности $m$ не меньше, чем $n$. Предположим, что $m^2+n$ является точным квадратом, т.е. $m^2 + n = k^2$ для некоторого натурального $k$. Тогда, очевидно, $k > m$.
Запишем $(m+1)^2 = m^2 + 2 m + 1 > m^2 + n = k^2$.
Отсюда следует, что $m + 1 > k$.
Таким образом, $m < k < m+1$.
Это противоречит тому, что $k$ – натуральное число, таким образом,
$m^2+n$ не является точным квадратом.
Ответ
не существуют.
Источники и прецеденты использования
