ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35369
Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Инварианты ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
[ Многоугольники (прочее) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С многоугольником разрешено проделывать следующую операцию. Если многоугольник делится отрезком AB на на два многоугольника, то один из этих многоугольников можно отразить симметрично относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB. (Операция разрешается только в том случае, когда в результате получается несамопересекающийся многоугольник.) Можно ли путем нескольких таким операций получить из квадрата правильный треугольник?

Подсказка

При проведении данных операций не изменяются площадь и периметр многоугольника (как говорят, площадь и периметр являются инвариантами для данной операции).

Решение

Заметим, что при проведении данных операций не изменяются площадь и периметр многоугольника. Предположим, что нам удалось путем нескольких таких операций получить из квадрата правильный треугольник. Примем за 1 сторону квадрата. Тогда вначале площадь многоугольника равнялась 1, а периметр равнялся 4. В полученном правильном треугольнике. следовательно, периметр также должен равняться 4 (т.е. сторона треугольника должна равняться 4/3), а площадь - 1. Однако, площадь правильного треугольника со стороной 4/3 равна (как легко посчитать) (4*31/2)/9, что не равно 1. Получено противоречие, которое завершает доказательство.

Ответ

нельзя.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .