ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35370
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что меньшая диагональ параллелограмма выходит из тупого угла.

Подсказка

Можно воспользоваться тем фактом, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Другой путь - воспользоваться теоремой косинусов.

Решение

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором диагональ AC меньше диагонали BD. Обозначим за O точку пересечения диагоналей. По свойству параллелограмма его диагонали делятся точкой их пересечения пополам, поэтому длины отрезков AO и OC равны половине диагонали AC, а длины отрезков BO и OD равны половине диагонали BD. Значит, BO>AO и DO>AO. Поскольку в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, из треугольников AOB и AOD получаем следующие неравенства для углов: (BAO)>(ABO) и (DAO)>(ADO). Сложив эти неравенства, получаем, что в треугольнике BAD угол BAD больше суммы двух оставшихся углов. Так как сумма углов треугольника равна 1800, то угол BAD больше 900. Это и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .