Задача 35370

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что меньшая диагональ параллелограмма выходит из тупого угла.

Подсказка

Можно воспользоваться тем фактом, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Другой путь - воспользоваться теоремой косинусов.

Решение

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором диагональ AC меньше диагонали BD. Обозначим за O точку пересечения диагоналей. По свойству параллелограмма его диагонали делятся точкой их пересечения пополам, поэтому длины отрезков AO и OC равны половине диагонали AC, а длины отрезков BO и OD равны половине диагонали BD. Значит, BO>AO и DO>AO. Поскольку в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, из треугольников AOB и AOD получаем следующие неравенства для углов: (BAO)>(ABO) и (DAO)>(ADO). Сложив эти неравенства, получаем, что в треугольнике BAD угол BAD больше суммы двух оставшихся углов. Так как сумма углов треугольника равна 180⁰, то угол BAD больше 90⁰. Это и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача