Задача 35377

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Подсказка

Графики квадратных трёхчленов могут совмещаться сдвигами на достаточно большие расстояния вдоль оси Ox.

Решение

Рассмотрим квадратные трёхчлены  f_n(x) = (x – 4n)² – 1  (n = 1, 2, 3, ...).  Очевидно, каждый из них имеет два действительных корня.  4n – 4m ≥ 4  при  n > m,  значит, при любом x либо  |x – 4m|,  либо  |x – 4n|  не меньше 2. Поэтому  f_m(x) + f_n(x) = (x – 4m)² + (x – 4n)² – 2 ≥ 2 > 0,  то есть квадратный трёхчлен
f_m(x) + f_n(x)  принимает только положительные значения.

Ответ

Существуют.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача