Условие
Стороны треугольника равны a, b, c. Известно, что
a
3=b
3+c
3.
Докажите, что этот треугольник остроугольный.
Подсказка
Из
теоремы косинусов следует, что если угол
против стороны a не острый, то сумма квадратов сторон b и c не
больше квадрата стороны a.
Решение
Из равенства
a
3=b
3+c
3
следует, что a - наибольшая сторона в данном треугольнике.
Поскольку против большей стороны лежит больший угол, достаточно
доказать, что угол, лежащий против стороны a - острый.
Предположим противное.
Тогда по
теореме косинусов
a
2=b
2+c
2-2bc*cos(A),
где A - угол против стороны a. Поскольку угол A неострый,
cos(A) неположителен, отсюда
a
2 не меньше, чем b
2+c
2.
Следовательно,
a
3 не меньше, чем ab
2+ac
2,
что в свою очередь больше
b
3+c
3, так как a - наибольшая сторона.
Итак, из предположения, что данный треугольник неостроугольный, мы
вывели, что
a
3>b
3+c
3, а это противоречит условию.
Источники и прецеденты использования
