Задача 35452

Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

На отрезке длины 1 отмечено несколько интервалов. Известно, что расстояние между любыми двумя точками, принадлежащими одному или разным интервалам, отлично от 0,1. Докажите, что сумма длин отмеченных интервалов не превосходит 0,5.

Подсказка

Разбейте отрезок на 10 отрезков длиной 0,1. Покажите, что сумма длин интервалов, заключенных в двух соседних отрезках длины 0,1, не превосходит 0,1.

Решение

Разобьем отрезок на 10 отрезков длиной 0,1. Обозначим за A_i множество точек из отмеченных интервалов, лежащих внутри i-го по порядку отрезка длиной 0,1. Если параллельно перенести множество A₁ в сторону второго отрезка на вектор длины 0,1, то множество, полученное в результате сдвига, не будет пересекаться с множеством A₂, иначе в множествах A₁ и A₂ нашлись бы две точки на расстоянии 0,1 вопреки условию. Таким образом, сумма длин интервалов, составляющих множества A₁ и A₂, не превосходит 0,1. Таким же образом, сумма длин интервалов, составляющих пары множеств A₃ и A₄, A₅ и A₆, A₇ и A₈, A₉ и A₁₀, не превосходит 0,1. Из приведенных рассуждений следует, что сумма длин всех отмеченных интервалов не превосходит 5*0,1=0,5, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача