Задача 35463

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников?

Подсказка

Оцените сумму углов, больших 180⁰, через сумму углов, меньших 180⁰.

Решение

Предположим противное - некоторый выпуклый многоугольник разбит на n невыпуклых четырехугольников. В каждом четырехугольнике есть угол, больший 180⁰, будем называть такие углы большими, а остальные углы - маленькими. Пусть сумма больших углов всех четырехугольников равна S. Поскольку сумма углов четырехугольника равна 360⁰, сумма маленьких углов всех четырехугольников равна (360n-S)⁰. В разбиении выпуклого многоугольника на невыпуклые четырехугольники к вершине каждого большого угла некоторого четырехугольника примыкают несколько маленьких углов других четырехугольников, дополняющих данный большой угол до 360⁰. Таким образом, сумма всех маленьких углов, вершины которых совпадают с вершиной некоторого большого угла, равна (360n-S)⁰. Но кроме этих маленьких углов есть маленькие углы с вершинами в вершинах выпуклого многоугольника. Отсюда делаем вывод, что сумма всех маленьких углов больше (360n-S)⁰, что противоречит доказанному ранее.

Ответ

нельзя.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача