Информация о задаче

Задача 35464

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма $\frac {1}{\sqrt {1} + \sqrt {2}} + \frac {1}{\sqrt {2} + \sqrt {3}} + \dots + \frac {1}{\sqrt {99} + \sqrt {100}}$ является целым числом.

Подсказка

Воспользуйтесь равенством $\frac {1}{\sqrt {n-1} + \sqrt {n}} = \sqrt {n} - \sqrt {n-1}$ .

Решение

Пользуясь равенством $\frac {1}{\sqrt {n-1} + \sqrt {n}} = \sqrt {n} - \sqrt {n-1}$ , избавимся от знаменателя в каждом слагаемом исходной суммы. После этого сумма принимает вид $(\sqrt {2} - \sqrt {1})+(\sqrt {3} - \sqrt {2})+\dots + (\sqrt {100} - \sqrt {99})$ . Теперь видно, что все слагаемые кроме первого и последнего, сокращаются. В результате получаем, что сумма равна $\sqrt {100} - \sqrt {1} = 9$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
задача