Условие
В выпуклом четырехугольнике найдите точку,
для которой сумма расстояний до вершин
минимальна.
Подсказка
Оцените отдельно суммы расстояний до пар противоположных
вершин.
Решение
Пусть данный четырехугольник - ABCD, а
O - некоторая точка.
Сумма OA+OC не меньше, чем AC, согласно
неравенству треугольника,
причем равенство достигается в том и только в том случае,
когда точка O лежит на диагонали AC.
Аналогичным образом,
сумма OB+OD не меньше, чем BD,
причем равенство достигается в том и только в том случае,
когда точка O лежит на диагонали BD.
Итак, сумма OA+OB+OC+OD не меньше, чем
AC+BD, причем равенство достигается
тогда и только тогда, когда O
лежит одновременно на диагоналях AC и BD,
т.е. совпадает с точкой пересечения диагоналей
четырехугольника ABCD.
Ответ
искомая точка - точка пересечения диагоналей.
Источники и прецеденты использования
