ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35482
Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом многоугольнике найдутся две стороны, отношение которых заключено между числами 1/2 и 2.

Подсказка

Предположите противное и получите противоречие с тем, что в многоугольнике сторона меньше суммы всех остальных сторон.

Решение

Обозначим через a1, a2, ... , an длины сторон многоугольника в порядке убывания (таким образом, a1 - самая длинная сторона). Предположим, что условие задачи не выполняется. Тогда a2<a1/2,
a3<a2/2<a1/4, ... ,
an<an-1/2<...<a1/2n-1. Отсюда следует, что a2+a3+...+an < a1/2+a1/4+...+a1/2n-1 < a1. Таким образом, получаем, что в данном многоугольнике сторона a1 больше суммы остальных сторон, что неверно (отрезок, соединяющий две точки, не длиннее любой ломаной, соединяющей эти точки).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .