ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35491
Тема:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h1, h2, h3, то его объём не меньше ⅓ h1h2h3.


Подсказка

Впишите тетраэдр в параллелепипед с высотами h1, h2, h3.


Решение

  Возьмём пару скрещивающихся ребер тетраэдра. Проведём через каждую из них плоскость, параллельную этим рёбрам. Проделав так с каждой парой скрещивающихся рёбер, получим шесть плоскостей, в пересечении которых образуется параллелепипед, причем высоты этого параллелепипеда равны расстояниям между соответствующими скрещивающимися рёбрами тетраэдра. Отношение объёма тетраэдра к объёму параллелепипеда равно  1 : 3.  Действительно, тетраэдр получается из параллелепипеда отрезанием четырёх "угловых" тетраэдров, каждый из которых имеет три ребра, совпадающие с тремя рёбрами параллелепипеда. Объем каждого из "угловых" тетраэдров равен ⅙ объёма параллелепипеда (площадь основания тетраэдра равна половине площади основания параллелепипеда, а их высоты совпадают). Поэтому достаточно показать, что объём параллелепипеда с высотами h1, h2, h3 не меньше чем h1h2h3.
  Введём стандартное обозначение вершин параллелепипеда – ABCDA'B'C'D'. Пусть h1 – расстояние между плоскостями ABCD и A'B'C'D', h2 – между плоскостями ADA'D' и BCB'C', h3 – между плоскостями ABA'B' и CDC'D'. Тогда  AD ≥ h3,  высота h, проведённая к стороне AD в параллелограмме ABCD, не меньше h2, площадь  SABCD ≥ h2h3,  а объём параллелепипеда равен  SABCDh1h1h2h3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .