|
|
 |
Условие
Докажите, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h1, h2, h3, то его объём не меньше ⅓ h1h2h3.
Подсказка
Впишите тетраэдр в параллелепипед с высотами h1, h2, h3.
Решение
Возьмём пару скрещивающихся ребер тетраэдра. Проведём через каждую из них плоскость, параллельную этим рёбрам. Проделав так с каждой парой скрещивающихся рёбер, получим шесть плоскостей, в пересечении которых образуется
параллелепипед, причем высоты этого параллелепипеда равны расстояниям между соответствующими скрещивающимися рёбрами тетраэдра. Отношение объёма тетраэдра к объёму параллелепипеда равно 1 : 3. Действительно, тетраэдр получается из параллелепипеда отрезанием четырёх "угловых" тетраэдров, каждый из которых имеет три ребра, совпадающие с тремя рёбрами параллелепипеда. Объем каждого из "угловых" тетраэдров равен ⅙ объёма параллелепипеда (площадь основания тетраэдра равна половине площади основания параллелепипеда, а их высоты совпадают). Поэтому достаточно показать, что объём параллелепипеда с высотами h1, h2, h3 не меньше чем h1h2h3.
Введём стандартное обозначение вершин параллелепипеда – ABCDA'B'C'D'. Пусть h1 – расстояние между плоскостями ABCD и A'B'C'D', h2 – между плоскостями ADA'D' и BCB'C', h3 – между плоскостями ABA'B' и CDC'D'. Тогда AD ≥ h3, высота h, проведённая к стороне AD в параллелограмме ABCD, не меньше h2, площадь SABCD ≥ h2h3, а объём параллелепипеда равен SABCDh1 ≥ h1h2h3.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
