|
|
 |
Условие
Докажите, что дроби 1000/2001 и 1001/2001 имеют равную длину периодов.
Подсказка
1 = 0,999999...
Решение
Заметим, что сумма двух данных дробей равна 1. Пусть первая дробь имеет десятичную запись 0,a1a2a3... Рассмотрим число R, выраженное десятичной дробью, меньшей 1, у которой на i-м месте после запятой, стоит цифра 9 – ai. Тогда в сумме 1000/2001 + R в каждом разряде после запятой будет стоять 9, то есть 1000/2001 + R = 0,9999... = 1. Таким образом, R = 1001/2001. Теперь видно, что если ab...z – некоторая комбинация цифр, являющаяся периодом дроби 1000/2001, то комбинация цифр (9 – a)(9 – b)...(9 – z) есть период дроби 1001/2001. Следовательно, период дроби 1001/2001 не длиннее периода 1000/2001.
Аналогично показываем, что период дроби 1000/2001 не длиннее период дроби 1001/2001. Следовательно, периоды этих двух дробей равны.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
