|
|
 |
Условие
В хоккейном турнире принимают участие n команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?
Подсказка
Оцените количество очков, которые набрали первые несколько команд и последние несколько команд.
Решение
Оценка. Разделим команды на две группы – в первую группу включим команды, занявшие первые k мест, а во вторую – команды, занявшие последние
m = n – k мест. Первые k команд набрали k(k – 1) очков во встречах друг с другом. Кроме этого первые k команд набрали не более 2km очков против последних m команд. Таким образом, первые k команд вместе набрали не более k(k – 1) + 2km очков. Следовательно, команда, занявшая k-е место, набрала не более 1/k (k(k – 1) + 2km) = k + 2m – 1 = n + m – 1 очка.
Команды, занявшие последние m мест, набрали вместе не менее m(m – 1) очков (во встречах друг с другом), поэтому команда, занявшая (k+1)-е место (то есть m-е место с конца), набрала не менее 1/m (m(m – 1)) = m – 1 очка. Таким образом, разрыв между k-м и (k+1)-м местами составляет не более
(n + m – 1) – (m – 1) = n очков.
Пример. Пусть одна команда выиграла у всех (и набрала тем самым 2(n – 1) очков), а остальные команды сыграли друг с другом вничью (и получили по
n – 2 очка). Тогда разрыв между первым и вторым местом составляет n очков.
Ответ
n очков.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
