Задача 35507

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Системы точек ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек.
Докажите, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до всех отмеченных точек будет не меньше 100.

Подсказка

Возьмите две диаметрально противоположные точки. Одна из них будет искомой.

Решение

Пусть A₁, A₂, ... , A₁₀₀ – отмеченные точки, O – центр окружности. Возьмём две диаметрально противоположные точки B и C. По неравенству треугольника  BA_i + CA_i ≥ BC = 2.  Сложив полученные оценки для всех точек A₁, A₂, ..., A₁₀₀, получим  (BA₁ + BA₂ + ... + BA₁₀₀) + (CA₁ + CA₂ + ... + CA₁₀₀) ≥ 200 = 2·100.  Поэтому одна из скобок будет не меньше 100, то есть либо точка B, либо точка C обладает требуемым свойством.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача