ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35507
Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Системы точек ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек.
Докажите, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до всех отмеченных точек будет не меньше 100.


Подсказка

Возьмите две диаметрально противоположные точки. Одна из них будет искомой.


Решение

Пусть A1, A2, ... , A100 – отмеченные точки, O – центр окружности. Возьмём две диаметрально противоположные точки B и C. По неравенству треугольника  BAi + CAi ≥ BC = 2.  Сложив полученные оценки для всех точек A1, A2, ..., A100, получим  (BA1 + BA2 + ... + BA100) + (CA1 + CA2 + ... + CA100) ≥ 200 = 2·100.  Поэтому одна из скобок будет не меньше 100, то есть либо точка B, либо точка C обладает требуемым свойством.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .