Условие
Даны положительные числа a, b, c, d, причем a>b>c>d.
Докажите, что
(a+b+c+d)
2>a
2+3b
2+5c
2+7d
2.
Подсказка
Либо честно раскройте скобки и оцените слагаемые,
либо используйте геометрическую интерпретацию -
постарайтесь в квадрате со стороной a+b+c+d поместить
один квадрат со стороной a, три квадрата со стороной b,
пять квадратов со стороной c и семь квадратов со стороной d.
Решение
Раскроем скобки и сгруппируем подходящим образом слагаемые:
(a+b+c+d)
2 = (a
2)+(2ab+b
2)+(2ac+2bc+c
2)+(2ad+2bd+2cd+d
2).
Мы видим, что вторая скобка в правой части больше 3b
2,
поскольку ab>b
2.
Также третья скобка в правой части больше 5c
2,
и четвертая скобка больше 7d
2.
Отсюда легко следует нужное утверждение.
Источники и прецеденты использования
