ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35594
Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Максимальное/минимальное расстояние ]
[ Расстояние от точки до плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что  x + 2y + 3z = 1.  Какое минимальное значение может принимать выражение  x² + y² + z²?


Подсказка

Какую геометрическую интерпретацию имеет эта задача?


Решение

Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве. Проведем плоскость П, заданную уравнением  x + 2y + 3z = 1.  Выражение
x² + y² + z²  равно квадрату расстояния от начала координат O до точки с координатами  (x, y, z).  Расстояние от начала координат до точки
(x, y, z),  лежащей в плоскости П, не превосходит расстояния от начала координат до плоскости П. Поэтому минимальное значение выражения  x² + y² + z²  при условии  x + 2y + 3z = 1  достигается тогда, когда точка  (x, y, z)  является основанием перпендикуляра, опущенного из O на плоскость П, и равно квадрату расстояния от O до плоскости П. Это расстояние можно вычислить по известной формуле. В результате получим  


Ответ

1/14.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .