ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35620
Темы:    [ Площадь (прочее) ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дана прямая m и два многоугольника - M1 и M2. Известно, что любая прямая, параллельная прямой m, пересекает эти многоугольники по отрезкам равной длины. Докажите, что площади многоугольников M1 и M2 равны.

Подсказка

Разбейте многоугольники на трапеции прямыми, параллельными прямой m. Доказывайте утверждение задачи отдельно для каждой трапеции.

Решение

Проведем прямую, параллельную m, через каждую вершину многоугольников M1 и M2. Эти прямые разобьют многоугольники M1 и M2 на несколько трапеций (две крайние трапеции могут выродиться в треугольники). Рассмотрим две трапеции, соответствующие многоугольникам M1 и M2, заключенных между соседними параллельными прямыми. В этих трапециях равны соответствующие основания (как отрезки прямых, параллельных m, пересекающие многоугольники M1 и M2) и высоты. Отсюда следует, что их площади равны. Таким образом, наши многоугольники M1 и M2 составлены из трапеций, имеющих соответственно равные площади. Это означает, что площади многоугольников M1 и M2 равны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .