ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35628
Темы:    [ Задачи с ограничениями ]
[ Правило произведения ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)


Решение 1

Можно расставить 16! способами 16 команд на 16 местах, после чего разбить их на пары 1-2, 3-4, ... , 15-16 (команды с нечётными номерами – хозяева, с чётными – гости). Но при этом каждое разбиение на пары в этих вариантах встречается 8! раз (количество способов переставить 8 пар по порядку). Таким образом, количество расписаний первого тура равно  16! : 8!.


Решение 2

Есть    способов выбрать 8 команд, которые будут играть на своем поле. В каждом из них 8! способов "расставить" 8 оставшихся команд в качестве их противников. Всего    способов.


Решение 3

Возьмём любую команду. Есть 15 способов выбрать её противника и два способа указать, какая из этих двух команд играет на своем поле. Теперь берём любую команду из оставшихся. Есть 13 способов выбрать её противника и два способа... Рассуждая так и дальше, получим  2·15·2·13·...·2·1 = 28·15!!  способов.


Ответ

16! : 8! = 28·15!! способами.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .