ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35635
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. Один называет два числа, являющихся концами отрезка. Следующий должен назвать два других числа, являющихся концами отрезка, вложенного в предыдущий. Игра продолжается бесконечно долго. Первый стремится, чтобы в пересечении всех названных отрезков было хотя бы одно рациональное число, а второй стремится ему помешать. Кто выигрывает?


Подсказка

Каждым своим ходом второй может избежать того, чтобы определенные рациональные числа попали в пересечение всех отрезков.


Решение

  Выигрышная стратегия второго такова. Первым своим ходом он выбирает свой отрезок так, чтобы в нем не было ни одной целой точки. Вторым своим ходом он выбирает свой отрезок так, чтобы в нём не было ни одной точки вида m/2, где m – целое число. Действуя так и дальше, на n-м ходу он выбирает свой отрезок так, чтобы в нём не было ни одной точки вида m/n, где m – целое. Заметим, что при любой игре первого второй может выбирать отрезки согласно изложенным выше правилам.
  Пусть рациональное число p/q (для некоторого целого p и натурального q) лежит в пересечении всех отрезков. Но это противоречит тому, что второй игрок на своем q-м ходу назвал отрезок, не содержащий рациональных чисел, представимых в виде дроби со знаменателем q.


Ответ

Второй.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .