Задача 35644

Темы:    [ Счетные и несчетные подмножества ] [ Покрытия ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что рациональные числа из отрезка [0;1] можно покрыть системой интервалов суммарной длины не больше 1/1000.

Подсказка

Занумеруйте рациональные числа и покрывайте каждое следующее рациональное число интервалом длины в два раза меньшей, чем длина интервала, покрывающего предыдущее рациональное число.

Решение

Рассмотрим конечные множества A_n, n=1, 2, ... , где через A_n обозначено множество рациональных чисел из отрезка [0;1], представимых в виде дроби m/n для некоторого целого m. Конечное множество точек можно покрыть системой интервалов сколь угодно малой длины. Поэтому мы можем покрыть множество A₁ интервалами суммарной длины (1/2)*(1/1000), множество A₂ - интервалами суммарной длины (1/4)*(1/1000), и т.д. , множество A_k - интервалами суммарной длины (1/2^k)*(1/1000). Таким образом, все рациональные числа оказываются покрытыми системой интервалов, суммарная длина которых не больше, чем (1/2)*(1/1000)+(1/4)*(1/1000)+...+(1/2^k)*(1/1000)+... = 1/1000. (Здесь мы использовали формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии.)

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача