Условие
Из произвольной точки круглого бильярдного стола пущен шар.
Докажите, что внутри стола найдётся такая окружность,
что траектория шара её ни разу не пересечёт.
Подсказка
Почти всегда годится некоторая окружность с центром в центре бильярдного стола.
Решение
Заметим, что при отражении от "круглой стенки"
угол падения шара (то есть угол между звеном и перпендикуляром
к касательной к окружности бильярда в точке падения шара)
равен углу отражения (то есть угол между следующим звеном
и тем же перпендикуляром). Заметим, что расстояние от центра
круга до звена ломаной из траектории не меняется.
Если это расстояние R>0, то годится любая окружность
с центром в центре бильярдного стола и радиусом r<R, например r=R/2.
Если R=0, то траекторией шара является один из диаметров стола,
всё остальное пространство свободно и там можно разместить
какую-нибудь окружность.
Источники и прецеденты использования
