|
|
 |
Условие
Докажите, что никакой выпуклый многоугольник нельзя разрезать на 100 различных правильных треугольников.
Подсказка
Предположите противное и рассмотрите наименьший треугольник, примыкающий к границе многоугольника.
Решение
Предположим, что выпуклый многоугольник разбит на 100 различных правильных треугольников. Рассмотрим наименьший из всех треугольников, примыкающих к границе многоугольника. Пусть это треугольник ABC, у которого сторона AB примыкает к границе многоугольника. Поскольку многоугольник выпуклый, то он весь лежит по одну сторону с точкой C от прямой AB. К одной из сторон AC, BC треугольника ABC должен примыкать еще хотя бы один треугольник (иначе многоугольник совпадал бы с треугольником ABC). Пусть, например, к стороне AC примыкает ещё один треугольник T. Тогда сторона треугольника T больше стороны треугольниика ABC, и поэтому его сторона, примыкающая к AC, продолжается за точку C. Если бы существовал треугольник, примыкающий к стороне BC треугольника ABC, то мы таким же образом заключили бы, что его сторона, примыкающая к BC, продолжается за точку C. Тем самым этот треугольник пересекался бы с треугольником T. Противоречие. Значит, нет треугольника, примыкающего к стороне BC треугольника ABC. Но это означает, что точка C является вершиной угла многоугольника, большего 180°. Противоречие с выпуклостью многоугольника.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
