ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35793
Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан тетраэдр, у которого периметры всех граней равны между собой. Докажите, что сами грани равны между собой.


Подсказка

Составьте систему уравнений на длины ребер и выведите из нее, что пары скрещивающихся ребер тетраэдра равны.


Решение

  Обозначим длины рёбер одной из граней через a, b, c. Рёбра, скрещивающиеся с a, b, c обозначим соответственно через a', b', c'. Запишем равенство периметров граней, имеющих общее ребро a:  a + b + c = a + b' + c',  откуда  b + c = b' + c'.  Аналогично получаем  a + b = a' + b',  c + a = c' + a'.  Из этих трёх уравнений выводим:  b – b' = c' – c = a – a' = b' – b.  Таким образом,  b' – b = b – b',  откуда следует, что b = b'.  Аналогично  a = a'  и  c = c'.  Значит, пары скрещивающихся рёбер тетраэдра равны, и тетраэдр является равногранным.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .