ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35802
Темы:    [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Докажите, что наименьшая высота этого треугольника не превосходит 3.

Подсказка

Запишите выражение для площади треугольника через радиус вписанной окружности и стороны, а также через высоты и стороны.

Решение

Пусть r=1 - радиус окружности, вписанной в данный треугольник, a, b, c - длины его сторон, причем a - наибольшая из сторон. Обозначим также за ha, hb, hc длины высот, опущенных соответственно на стороны a, b, c. Запишем выражение для площади S треугольника. С одной стороны, S=(a+b+c)r/2. С другой стороны, S=aha/2. Отсюда следует равенство ha/r=(a+b+c)/a=1+b/a+c/a. Так как a - наибольшая сторона, то каждое из выражений b/a, c/a не превосходит 1. Таким образом, ha=ha/r не превосходит 3, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .