Условие
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Докажите, что
наименьшая высота этого треугольника не превосходит 3.
Подсказка
Запишите выражение для площади треугольника через радиус вписанной окружности и стороны,
а также через высоты и стороны.
Решение
Пусть r=1 - радиус окружности, вписанной в данный треугольник,
a, b, c - длины его сторон, причем a - наибольшая из сторон.
Обозначим также за h
a, h
b, h
c
длины высот, опущенных соответственно на стороны a, b, c.
Запишем выражение для площади S треугольника.
С одной стороны, S=(a+b+c)r/2.
С другой стороны, S=ah
a/2.
Отсюда следует равенство h
a/r=(a+b+c)/a=1+b/a+c/a.
Так как a - наибольшая сторона, то каждое из выражений b/a, c/a не превосходит 1.
Таким образом, h
a=h
a/r не превосходит 3,
что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования