Задача 37004

Темы:    [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 10

Условие

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А., Кожевников П.А.

В треугольнике АВС  М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.

Решение

  Пусть K и L – середины сторон АВ и АС, AH – высота, A', B' и C' – точки касания окружности со сторонами высота треугольника АВС, r – радиус этой окружности (см. рис.).

  Так как  OM || BC,  то  r = OA' = ¹/₃ AH.  Из того, что  S_ABC = ½ BC·AH = (AB + BC + AC)r  следует, что  ½ (AB + AC) = BC.  Кроме того,  BA' = BC'  и
CA' = CB',  поэтому  BC' + CB' = BC = BK + CL.  Следовательно,  C'K = |BC – BK| = |CL – CB'| = B'L.
  Таким образом, прямоугольные треугольники OKC' и OLB' равны по двум катетам, откуда  OK = OL.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	02 (2004 год)
Дата	2004-04-11
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	4