ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52381
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан четырёхугольник ABCD, причём AB является диаметром окружности. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Известно, что  BC = 3,  CM = ¾,  а площадь треугольника ABC втрое больше площади треугольника ACD. Найдите AM.


Решение 1

  Пусть DK – высота треугольника ADC.  $ang;ACB = 90° (опирается на диаметр), поэтому  DK || BC.  Так как  SABC = 3SADC,  то высота  DK = 1/3 BC.  Следовательно, треугольник DKM подобен треугольнику BCM с коэффициентом 1/3.
  DM² = DK² + MK² = 1 + 1/16 = 17/16.  Поскольку  AM·MC = DM·MB = 3DM²,  то  AM = 3DM²/MC = 17/4.


Решение 2

  Так как синусы углов ABС и ADС равны, то из равенства  SABC = 3SADC  следует, что  AB·BC = 3AD·DC.
  BM² = BC² + MC² = 9 + 9/16 = 17·9/16.
  Треугольники AMB и DMC подобны, поэтому  AB : DC = BM : CM.
  Треугольники AMD и BMC также подобны, поэтому  AM/BM = AD/BC = AD·DC/AB·BC·AB/DC = 1/3 BM/CM,  то есть  AM = BM²/3MC = 17/4.


Ответ

17/4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 43

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .