ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52425
УсловиеДокажите, что угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
ПодсказкаКасательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
РешениеПусть AB — хорда, AM — касательная, O — центр окружности. Обозначим через градусную меру меньшей дуги AB.
Первый способ.
Пусть MAB < 90o. Из центра окружности опустим перпендикуляр OP на AB. Тогда каждый из углов MAB и AOP дополняет угол OAB до 90o. Следовательно,
MAB = AOP = AOB = .
Пусть MAB > 90o. На луче, дополнительном к лучу AM, возьмём точку M'. Тогда M'AB < 90o. По доказанному M'AB = AOB, поэтому
MAB = 180o - M'AB = 180o - = (360o - ).
Осталось заметить, что
360o - — градусная мера дуги, заключённой
внутри угла MAB.
Если MAB = 90o, то утверждение очевидно.
Второй способ.
Пусть MAB < 90o. Через точку B проведём хорду BC, параллельную AM. Тогда
MAB = ABC = ACB = .
Пусть
MAB > 90o. На луче, дополнительном к лучу AM, возьмём
точку M'. Тогда
M'AB < 90o. По доказанному
M'AB = AOB, поэтому
MAB = 180o - M'AB = 180o - = (360o - ).
Осталось заметить, что
360o - — градусная мера дуги, заключённой
внутри угла MAB.
Если MAB = 90o, то утверждение очевидно.
Третий способ.
Пусть MAB < 90o. Продолжим AO до пересечения с окружностью в точке K и соединим точки K и B. Тогда ABK = 90o. Поэтому
MAB = KAM - KAB = 90o - KAB = AKB = .
Пусть MAB > 90o. На луче, дополнительном к лучу AM, возьмём точку M'. Тогда M'AB < 90o. По доказанному M'AB = AOB, поэтому
MAB = 180o - M'AB = 180o - = (360o - ).
Осталось заметить, что
360o - — градусная мера дуги, заключённой
внутри угла MAB.
Если MAB = 90o, то утверждение очевидно.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|