ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52458
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из точки M, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки C, лежащей на окружности, до касательных равны a и b. Найдите расстояние от точки C до прямой AB, где A и B – точки касания.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть P, Q, N – основания перпендикуляров, опущенных из точки C на прямые MA, MB, AB соответственно. Тогда точки P и N лежат на окружности с диаметром AC, а точки N и Q – на окружности с диаметром BC. Поэтому  ∠CPN = ∠CAB = ∠CBQ = ∠CNQ  (мы применили теорему об угле между касательной и хордой). Аналогично  ∠CNP = ∠CQN.  Значит, треугольники PCN и NCQ подобны по двум углам. Следовательно,  CN : CQ = CH : CN,  и  CN2 = CP·CQ = ab.


Ответ

.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 120

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .