ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52470
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Медиана делит площадь пополам ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O.
Докажите, что ломаная AOC делит его на две равновеликие части.


Подсказка

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.


Решение 1

Пусть K – точка пересечения диагоналей AC и BD. Если O принадлежит AC, то решение очевидно. Иначе, один из получившихся четырёхугольников – выпуклый. Пусть тогда M и N – основания перпендикуляров, опущенных из точки O на AC и BD. Тогда

SABCO = ½ AC·OM + ½ AC·BK = ½ AC·(OM + BK) = ½ AC·(KN + BK) = ¼ AC·BD = ½ SABCD.


Решение 2

Пусть M – середина BD.  OM || AC,  поэтому  SAOM = SCOM,  и, значит,  SAOCD = SAMCD.  С другой стороны,  SABM = SADMSCBM = SCDM,  следовательно,  SAMCD = ½ SABCD.

Замечания

1. Вписанность почти ни при чём. Достаточно, чтобы в четырёхугольнике с перпендикулярными диагоналями точка O лежала на серединном перпендикуляре к BD. Впрочем, имеются другие решения, использующие вписанность, но они сложнее.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 132
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 2
Дата 1980/1981
вариант
Вариант 7-8 класс
Задача
Номер 3
журнал
Название "Квант"
год
Год 1981
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М711

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .