ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52475
Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В круге проведены два перпендикулярных диаметра AE и BF. На дуге EF взята точка C. Хорды CA и CB пересекают диаметры BF и AE в точках P и Q соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника APQB равна квадрату радиуса круга.


Подсказка

$ \angle$CAE + $ \angle$CBF = 45o,

tg($ \alpha$ + $ \beta$) = $ {\frac{{\rm tg }\alpha + {\rm tg }\beta}{1 - {\rm tg }\alpha {\rm tg }\beta}}$.


Решение

Пусть O — центр круга, R — радиус. Обозначим $ \angle$CAE = $ \alpha$, $ \angle$CBF = $ \beta$. Поскольку $ \alpha$ + $ \beta$ = 45o, то

SAPQB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$OA . OB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$OP . OA + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$OQ . OB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$OP . OQ =

= $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ . tg$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ . tg$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ . tg$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \beta$ =

= $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$(1 + tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ + tg$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \beta$) = $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$(1 + tg$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \beta$ + tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)(1 - tg$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \beta$)) =

= $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$(1 + tg$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \beta$ + 1 - tg$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \beta$) = $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ . (1 + 1) = R2,

т.к.

tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) = tg45o = 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 137

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .