ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52487
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Куланин Е.

Для данной хорды MN окружности рассматриваются треугольники ABC, основаниями которых являются диаметры AB этой окружности, не пересекающие MN, а стороны AC и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABC, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.


Подсказка

Точки M, N, C и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности. Её центр — искомая точка.


Решение

AN и BM — также высоты треугольника ABC. Пусть H — их точка пересечения. Точки M, C, N, H лежат на окружности с диаметром CH. Пусть P — её центр.

Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то P лежит на высоте треугольника ABC.

Угол C не зависит от положения диаметра AB, так как

$\displaystyle \angle$C = $\displaystyle {\frac{\cup AB - \cup MN}{2}}$.

Поэтому любому указанному в условии положению диаметра AB соответствует одна и та же окружность с центром P. Следовательно, высоты AA1 всех таких треугольников ABC проходят через точку P.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 150
журнал
Название "Квант"
год
Год 1991
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М1276

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .