ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52492
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведёнными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.


Подсказка

Точки C и B, центр описанной окружности и точка пересечения высот лежат на одной окружности.


Решение 1

   Для определённости будем считать, что  AB > AC.  Пусть BB1 и CC1 – высоты, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности.

   Поскольку  ∠COB = ∠CHB = 120°,   то точки C, H, O и B лежат на одной окружности. Поэтому  ∠OHB = ∠OCB = ∠OBC = 30° = ½ ∠BHC1.  Следовательно, луч HO – биссектриса угла BHC1.


Решение 2

   H и O – противоположные вершины параллелограмма, образованного высотами BB1 и CC1 и серединными перпендикулярами к сторонам AB и AC. Расстояние между последним и высотой BB1 равно  ½ |AC – AB|  (поскольку  AB1 = ½ AB).  Тому же равно расстояние между другими двумя сторонами параллелограмма. Значит, этот параллелограмм – ромб. Поэтому его диагональ – биссектриса угла между сторонами.

Замечания

1. Утверждение верно и для тупоугольного (прямоугольного) треугольника.

2. Задача предлагалась также на 53-й Ленинградской олимпиаде (1987, 8 кл., зад. 1).

3. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 155
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 4
журнал
Название "Квант"
год
Год 1987
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М1046

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .