ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52503
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.


Подсказка

Точка пересечения диагоналей, её проекции на соседние стороны и общая точка этих сторон лежат на одной окружности.


Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD; M, N, P, Q — проекции точки O на AB, BC, CD и AD. Тогда

$\displaystyle \angle$QMO + $\displaystyle \angle$QPO = $\displaystyle \angle$QAO + $\displaystyle \angle$QDO = 90o

(т.к. точки M и Q лежат на окружности с диаметром AO, а точки P и Q — на окружности с диаметром OD). Аналогично $ \angle$OMN + $ \angle$OPN = 90o. Поэтому

$\displaystyle \angle$QPN + $\displaystyle \angle$QMN = 180o.

Следовательно, четырёхугольник MNPQ — вписанный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 166
журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М163

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .