Задача 52504

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точка E лежит на стороне AC правильного треугольника ABC, K – середина отрезка AE. Прямая, проходящая через точку E перпендикулярно прямой AB, и прямая, проходящая через точку C перпендикулярно прямой BC, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD.

Подсказка

Пусть F – проекция точки E на AB. Докажите, что точки K, F, B, C и D лежат на одной окружности.

Решение

  Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на AB. Тогда FK — медиана прямоугольного треугольника AFE. Поэтому  ∠AKF = 60°  и
FK || BC.
  Точки F и C лежат на окружности с диаметром BD. Точка K принадлежит этой окружности, так как BFKC – равнобедренная трапеция. Следовательно,
∠BKD = 90°,  ∠BDK = ∠BCK = 60°.

Ответ

30°, 90°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	167